האיש שמיפה את האינסוף

המתמטיקאי המפורסם בנואה מנדלברוט התכנס החודש אל האינסוף. בטוקבק לאחת הידיעות העיתונאיות על מותו כתב אחד ממעריציו: "כדאי לבחון את המצבה שתעמוד על קברו של מנדלברוט. במבט קרוב אפשר יהיה לראות שהיא מורכבת מהמוני מצבות קטנות יותר, שכל אחת מהן בנויה מהמוני מצבות קטנות ממנה, וכך הלאה".

הטוקבק המתלוצץ מתייחס לתחום המחקר של מנדלברוט, יהודי מפולין ששרד את השואה כילד, ולתרומתו הגדולה למדע המתמטיקה ולהבנת טבעו של היקום. תרומתו של מנדלברוט היא בחקר ה"פְרקטָלים": צורות גיאומטריות שצלעותיהן אינן חלקות כמו אלה של המשולשים והמשושים האוקלידיים, אלא מחוספסות, כמו בטבע. קווי המתאר של ענן אינם באמת מעוגלים. קו המתאר של גזע עץ אינו קו ישר, וגם מתארו של כדור הארץ כולו אינו קו מעוגל חלק. כולם קווים מפותלים ומעוקמים, שככל שנתקרב אליהם נמצא בהם עוד פיתולים ועוד קימורים, שכל אחד מהם מלא בפיתולים ובקימורים, וכך הלאה, עד לאטומים שמרכיבים את כל הגופים בעולם.

מנדלברוט גילה בעיקום הנצחי הזה סדר פנימי שתקף בכל הצורות בעולם המחוספס, סדר שהבנתו היא בבחינת פיצוח אחד מפלאי הבריאה: בכל צורה בעולם, כל מקטע קטן בה יהיה דומה לצורה הגדולה, וייראה כאילו הצורה הגדולה התכנסה לתוכו. אבן שנשברה מהר דומה בעצמה להר, וגרגיר החול שנפל ממנה נראה בעצמו כמו אבן זעירה, או הר זעיר. ענף שייכרת מעלווה של עץ אלון ייראה כמו עץ אלון קטן, וכך ייראה גם הקטן שבענפים שהחלו לצמוח מתוכו, והכפיס הקטן שיגולף ממנו ויוצג במיקרוסקופ ייראה כמו גזע אלון גדול. כך מתנהגים הפרקטלים – הצורות הגאומטריות של הטבע האמיתי, זה שמחוץ למחברות, וגילוים היה בבחינת גילוי ממד נוסף בטבע, ממד ביניים, שאותו מנדלברוט ביקש למקם "בין הממד השני והשלישי", ממד החספוס, שמראה את מורכבותה האינסופית של הצורה.

בכל צורה בעולם, כל מקטע קטן בה יהיה דומה לצורה הגדולה, וייראה כאילו הצורה הגדולה התכנסה לתוכו צילום: shutterstock

באחד ממאמריו המפורסמים והמוקדמים שואל מנדלברוט מהו אורך חופי בריטניה. הוא משיב שאורכם אינו קבוע. הוא תלוי בקנה המידה שנבחר. ככל שנתקרב לחוף ונמדוד אותו יותר במדוייק, כך הוא יתארך. במפת העולם נראה את הפיתולים שגודלים קילומטרים, אבל המדידה "תיישר" כמה קימורים. אבל אם נלך לאורך החוף ונמדוד את האורך של כל קימוריו, האורך שנקבל יהיה גדול בהרבה. הפיתולים יהיו דומים, אבל נמצא אותם בכל עשרה ס"מ. ואם נשתמש בזכוכית מגדלת רבת־עוצמה נראה בכל ס"מ מפרצים ושוניות קטנטנים ומתפתלים, שמדידה עדינה לאורכם תאריך את ההיקף הכולל של החוף, וכאשר נפעיל את המיקרוסקופ נמצא בתוך כל מילימטר חול "קו חוף" קטנטן, מחוספס, ודומה בפרקטליותו לאותו קו חוף מוכר של בריטניה.

החוקיות שגילה בטבע אינה רק יפהפייה אלא גם יישומית. עקרון הפרקטליות עומד ביסוד תורת הכאוס, המסבירה שאי אפשר לנבא את הטבע במדויק כי הוא מורכב עד אינסוף, אך שאפשר לזהות בו תבניות שחוזרות על עצמן גם בקני מידה משתנים. בספרו "הגיאומטריה של הטבע" מנדלברוט הראה שגם האנושות פועלת לפי עקרונות פרקטליים. הוא הקדיש בספר פרק שלם לגיאומטריית הפרקטלים של שוק ההון: תנודות המניות מורכבות עד כדי כך שלעולם אי אפשר לנבא את המחיר שיהיה בעוד דקה. אבל התבנית חוזרת על עצמה: קריסה גדולה מדי עשור (1987, 1998, 2008), כאשר גם בדקה יחידה גרף המחירים עובר תהפוכות כמו ששוק ההון כולו עובר בעידן שלם.

לאחר מותו של מנדלברוט, מחבר "הברבור השחור" ונביא המשבר נאסים טאלב החשיך למשך שבוע את דף הבית של אתר האינטרנט שלו (fooledbyrandomness.com) כאבל על "המורה היחיד שהיה לי", כדברי טאלב. באתר הופיע רק משפט אחד: "בנואה מנדלברוט, 2010-1924, יווני בין רומאים".